Variância π: Calculando X ao quadrado !

quinta-feira, 27 de outubro de 2011

Calculando X ao quadrado !

Uma das coisas legais em matemática é que você pode calcular determinado problema de diversas maneiras possíveis , neste Post vamos mostrar como calcular $X^2$ de uma maneira diferente.

Primeiro podemos notar que quando construimos uma torre de números como abaixo, temos uma propriedade bem interessante,

$1$

$1$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $7$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

Temos que a soma das linhas é igual ao número central elevado ao quadrado,

$1$

$1$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $7$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $7$ + $8$ + $7$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

ou seja,

$1^2 =1$
$2^2 =1+2+1$
$3^2 =1+2+3+2+1$
$4^2 =1+2+3+4+3+2+1$
$5^2 =1+2+3+4+5+4+3+2+1$
$6^2 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1$
$7^2 =1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1$
$8^2 =1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1$
$\vdots$

Então podemos formular o seguinte:

$\sum_{n=1}^{X}n+\sum_{n=1}^{X-1}n = X^2$

ou seja, um número $X$ elevado ao quadrado é igual a soma dos seus $X$ primeiros termos mais a soma dos seus $X-1$ primeiros termos.

Exemplo:

$\sum_{n=1}^{5}n+\sum_{n=1}^{5-1}n = 5^2$

$[1+2+3+4+5] + [1+2+3+4] = 5^2$

Prova da Igualdade:

$\sum_{j=1}^{X}j= \frac{X(X+1)}{2}$ $\sum_{j=1}^{X-1}j= \frac{(X-1)(X-1+1)}{2}$

então

$\sum_{j=1}^{X}j+\sum_{j=1}^{X-1}j=\frac{X(X+1)}{2}+\frac{(X-1)(X-1+1)}{2}=\frac{2X^2}{2}= X^2$

Q.E.D

Agora você deve estar se perguntando.... , é mais fácil calcular pelo método convencional!

Mais se você for um "Gauss" , que aos 8 anos de idade já dominava a soma dos $n}$ primeiros números inteiros , então pode adotar esse principio como alternativa.

HEHE fica a dica!

3 comentários:

Diego Sousa28 de outubro de 2011 às 07:12
Gostei bastante dessa postagem!
Você está se superando a cada dia que passa, continue sempre assim nos privilegiando com esses diamantes da matemática!
Creio que existe algo em que sua idéia pode ser bastante útil, quando lembrar entrarei em contato.
Até mais !
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Aloisio Teixeira12 de janeiro de 2012 às 12:09
Confesso que nunca vi o cálculo do quadrado de um número dessa forma. Bastante legal!
elementosdeteixeira.blogspot.com
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Prof. Irivan Rodrigues25 de fevereiro de 2017 às 17:07
Excelente postagem!

Acompanho este espaço já algum tempo, e posso afirmar que aqui tem informações e dicas valiosíssimas para aqueles que gostam e precisam estudar sobre a Química.

Aproveito o momento para deixar um convite para você visitar o blog QUÍMICA PERIÓDICA - Aprender Química de maneira fácil e divertida!

Deixo meus parabéns ao proprietário(a) deste espaço e que você continue nos trazendo conhecimentos valiosos.
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