Olá, hoje vamos ver uma igualdade bem interessante do calculo vetorial, partindo do terorema da divergência, chegaremos a uma formula alternativa para o calculo da área de uma superfície fechada .
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA: Seja uma região solida simples e seja a superfície fronteira de , com um vetor normal unitário exterior a superficie . E seja um campo vetorial cujas funções componentes tem derivadas parcias continuas em uma região aberta que contenha . Então:
Onde:
*O teorema da divergência é algumas vezes chamado de teorema de Gauss, em homenagem ao grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss que descobriu esse teorema durante suas pesquisas sobre eletrostática. Em muitos países da europa, o teorema da divergência é conhecido como Teorema de Ostrogradsky, em homenagem ao matemático russo Mikhail Ostrogradski que publicou esse resultado em 1826.
Da relação:
temos que se o campo for igual ao vetor normal, ou seja , ,então:
Porém, como é um vetor normal unitário, temos que
E então:
Vamos utilizar essa formula para o calculo da área da superfície da esfera :
Esfera:
O vetor normal unitário é dado por:
E então:
utilizando a formula ,temos que :
portanto, a área da esfera é dada por:
onde é o raio.