Variância π: outubro 2011

segunda-feira, 31 de outubro de 2011

Adivinhando seu número

Será que eu consigo adivinhar seu número , apenas usando matemática?

Vamos tentar?

Escolha um número $X<100$ com algarismos diferentes.

por exemplo: 12

agora troque a ordem dos algarismos

se você escolheu 12 troque por 21

veja qual desses 2 números é maior , agora pegue o maior número e subtraia pelo menor .

Deu 9 ?

se não deu ... então some os dois algarismos desse números que você obteve que vai dar !

quinta-feira, 27 de outubro de 2011

Calculando X ao quadrado !

Uma das coisas legais em matemática é que você pode calcular determinado problema de diversas maneiras possíveis , neste Post vamos mostrar como calcular $X^2$ de uma maneira diferente.

Primeiro podemos notar que quando construimos uma torre de números como abaixo, temos uma propriedade bem interessante,

$1$

$1$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $7$ $6$ $5$ $4$ $3$ $2$ $1$

Temos que a soma das linhas é igual ao número central elevado ao quadrado,

$1$

$1$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $7$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

$1$ + $2$ + $3$ + $4$ + $5$ + $6$ + $7$ + $8$ + $7$ + $6$ + $5$ + $4$ + $3$ + $2$ + $1$

ou seja,

$1^2 =1$
$2^2 =1+2+1$
$3^2 =1+2+3+2+1$
$4^2 =1+2+3+4+3+2+1$
$5^2 =1+2+3+4+5+4+3+2+1$
$6^2 =1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1$
$7^2 =1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1$
$8^2 =1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1$
$\vdots$

Então podemos formular o seguinte:

$\sum_{n=1}^{X}n+\sum_{n=1}^{X-1}n = X^2$

ou seja, um número $X$ elevado ao quadrado é igual a soma dos seus $X$ primeiros termos mais a soma dos seus $X-1$ primeiros termos.

Exemplo:

$\sum_{n=1}^{5}n+\sum_{n=1}^{5-1}n = 5^2$

$[1+2+3+4+5] + [1+2+3+4] = 5^2$

Prova da Igualdade:

$\sum_{j=1}^{X}j= \frac{X(X+1)}{2}$ $\sum_{j=1}^{X-1}j= \frac{(X-1)(X-1+1)}{2}$

então

$\sum_{j=1}^{X}j+\sum_{j=1}^{X-1}j=\frac{X(X+1)}{2}+\frac{(X-1)(X-1+1)}{2}=\frac{2X^2}{2}= X^2$

Q.E.D

Agora você deve estar se perguntando.... , é mais fácil calcular pelo método convencional!

Mais se você for um "Gauss" , que aos 8 anos de idade já dominava a soma dos $n}$ primeiros números inteiros , então pode adotar esse principio como alternativa.

HEHE fica a dica!

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Adivinhando seu número

quinta-feira, 27 de outubro de 2011

Calculando X ao quadrado !