Variância π: Desigualdade de Cauchy-Schwarz

quinta-feira, 22 de setembro de 2011

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz é uma relação muito rica no contexto matematico, pois pode ser utilizado em diversas áreas, tais como em álgebra linear aplicando-se a vetores, em análise aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

Definição: Para quaisquer $w$ e $v$ $\in \mathbb{R}^n$ , tem-se $|\langle w,v \rangle|\leq|w |.|v |$ .Onde a igualdade é valida se, e somente se, uns dos vetores $w$ , $v$ é multiplo do outro.

Demonstração: seja dado dois vetores quaisquer $w$ e $v$ , onde $u$ é o vetor projeção e $z$ é o vetor que vai do extremo do vetor $u$ até o extremo do vetor $w$ , então temos:

$Proj_{v}w= \frac{\langle w,v \rangle}{\langle v,v \rangle}v$

$w-Proj_{v}w=z$

Então para qualquer vetor $w$ temos:

$\langle w,w \rangle = \langle z+Proj_{v}w,z+Proj_{v}w \rangle = \langle z,z \rangle + 2\langle z,Proj_{v}w \rangle +\langle Proj_{v}w,Proj_{v}w \rangle$

$\langle w,w \rangle \geq \langle Proj_{v}w,Proj_{v}w \rangle \Longrightarrow |w|^2 \geq v^2\frac{\langle w,v \rangle^2}{|v|^2} \Longrightarrow |w|^2 \geq \frac{\langle w,v \rangle^2}{|v|^2}$

Então:

$|w|^2.|v|^2\geq {\langle w,v \rangle}^2 \Longrightarrow |w|.|v|\geq {|\langle w,v \rangle|}$

Um comentário:

Unknown8 de maio de 2014 às 11:30
Como posso provar que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale apenas quando os vetores são linearmente dependentes?
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Desigualdade de Cauchy-Schwarz

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