COSSENO DE 72°

Frequentemente quando estudamos trigonometria necessitamos saber o cosseno ou seno de alguns ângulos para resolver algum cálculo. Alguns ângulos são bem simples de calcular como é o caso dos ângulos 30° , 45°, 60°. porém algumas vezes nos deparamos com alguns casos em que precisamos de um pouco mais de matemática para determinar o seno ou cosseno de determinado ângulo, como é o caso de cosseno 72° .

Nesse post vamos calcular o cosseno 72°  de duas maneiras diferentes.

FORMA GEOMÉTRICA

Considere o triangulo isósceles ABC abaixo com medidas de lado $1$ e $x$ e ângulos 36°  e 72 °.

dividindo o ângulo de 72°  no vértice A temos que o triangulo ADC  na figura abaixo é semelhante ao triangulo ABC 

o segmento AD tem comprimento $x$ pois o triângulo ADC é isósceles. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC temos que 

$$1^2=1^2+x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$1^2-1^2=x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$0= x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$-x^2=-2.1.x.\cos 72$$

$$-x=-2.\cos 72$$

$$\cos 72 =\frac{x}{2}$$

Agora, aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD abaixo que é semelhante ao triângulo ABC

temos que

$$x^2=x^2+(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$x^2-x^2=(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$0= (1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$

$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$

$$\cos 72 =\frac{1-x}{2x}$$

agora, como os triângulos ABC e ACD são semelhantes temos utilizando as relações de semelhança entre os dois triângulos que


$$\frac{1-x}{2x}=\cos 72 =\frac{x}{2}$$

logo temos que 

$$2x^2=2(1-x)$$
$$2x^2=2-2x$$

$$2x^2-2+2x=0$$

$$x^2-1+x=0$$

cujas raízes são $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$

como $x>0$ temos que 

$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

logo $$\cos 72=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

FORMA ALGÉBRICA

Considere $X= 18°$

assim temos:

  $$5X=90°$$

$$2X+3X=90°$$

$$2X=90°-3X$$

aplicando o seno temos

$$\sin 2X=\sin(90°-3X)$$

$$2\sin X\cos X=\sin 90°\cos 3X-\cos 90°\sin 3X$$

$$2\sin X\cos X=\cos 3X$$

agora, fazendo $\cos 3X=\cos(X+2X)$ e desenvolvendo o cosseno da soma temos que $\cos 3X= 4\cos^3 X-3\cos X$

assim ficamos com 

$$2\sin X\cos X=4\cos^3 X-3\cos X$$

$$2\sin X\cos X-4\cos^3 X+3\cos X=0$$

$$(2\sin X-4\cos^2 X+3)\cos X=0$$

Como $\cos X=\cos 18°\neq 0$ temos que 

$$2\sin X-4\cos^2 X+3=0$$

logo 

$$2\sin X-4(1-\sin^2 X)+3=0$$

$$2\sin X-4+4\sin^2 X)+3=0$$

$$2\sin X+4\sin^2 X-1=0$$

e então como  18° está no primeiro quadrante temos que 

$$\sin X= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

Agora, 

$$\cos 72=\cos (90-18)=\sin 18= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$