A Desigualdade de Cauchy-Schwarz é uma relação muito rica no contexto matematico, pois pode ser utilizado em diversas áreas, tais como em álgebra linear aplicando-se a vetores, em análise aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.
Definição: Para quaisquer e , tem-se .Onde a igualdade é valida se, e somente se, uns dos vetores , é multiplo do outro.
Demonstração: seja dado dois vetores quaisquer e , onde é o vetor projeção e é o vetor que vai do extremo do vetor até o extremo do vetor , então temos:
Então para qualquer vetor temos:
Então:
Como posso provar que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale apenas quando os vetores são linearmente dependentes?
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