COSSENO DE 72°

Frequentemente quando estudamos trigonometria necessitamos saber o cosseno ou seno de alguns ângulos para resolver algum cálculo. Alguns ângulos são bem simples de calcular como é o caso dos ângulos 30° , 45°, 60°. porém algumas vezes nos deparamos com alguns casos em que precisamos de um pouco mais de matemática para determinar o seno ou cosseno de determinado ângulo, como é o caso de cosseno 72° .

Nesse post vamos calcular o cosseno 72°  de duas maneiras diferentes.

FORMA GEOMÉTRICA

Considere o triangulo isósceles ABC abaixo com medidas de lado $1$ e $x$ e ângulos 36°  e 72 °.

dividindo o ângulo de 72°  no vértice A temos que o triangulo ADC  na figura abaixo é semelhante ao triangulo ABC 

o segmento AD tem comprimento $x$ pois o triângulo ADC é isósceles. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC temos que 

$$1^2=1^2+x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$1^2-1^2=x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$0= x^2-2.1.x.\cos 72$$

$$-x^2=-2.1.x.\cos 72$$

$$-x=-2.\cos 72$$

$$\cos 72 =\frac{x}{2}$$

Agora, aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD abaixo que é semelhante ao triângulo ABC

temos que

$$x^2=x^2+(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$x^2-x^2=(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$0= (1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$

$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$

$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$

$$\cos 72 =\frac{1-x}{2x}$$

agora, como os triângulos ABC e ACD são semelhantes temos utilizando as relações de semelhança entre os dois triângulos que


$$\frac{1-x}{2x}=\cos 72 =\frac{x}{2}$$

logo temos que 

$$2x^2=2(1-x)$$
$$2x^2=2-2x$$

$$2x^2-2+2x=0$$

$$x^2-1+x=0$$

cujas raízes são $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$

como $x>0$ temos que 

$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

logo $$\cos 72=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

FORMA ALGÉBRICA

Considere $X= 18°$

assim temos:

  $$5X=90°$$

$$2X+3X=90°$$

$$2X=90°-3X$$

aplicando o seno temos

$$\sin 2X=\sin(90°-3X)$$

$$2\sin X\cos X=\sin 90°\cos 3X-\cos 90°\sin 3X$$

$$2\sin X\cos X=\cos 3X$$

agora, fazendo $\cos 3X=\cos(X+2X)$ e desenvolvendo o cosseno da soma temos que $\cos 3X= 4\cos^3 X-3\cos X$

assim ficamos com 

$$2\sin X\cos X=4\cos^3 X-3\cos X$$

$$2\sin X\cos X-4\cos^3 X+3\cos X=0$$

$$(2\sin X-4\cos^2 X+3)\cos X=0$$

Como $\cos X=\cos 18°\neq 0$ temos que 

$$2\sin X-4\cos^2 X+3=0$$

logo 

$$2\sin X-4(1-\sin^2 X)+3=0$$

$$2\sin X-4+4\sin^2 X)+3=0$$

$$2\sin X+4\sin^2 X-1=0$$

e então como  18° está no primeiro quadrante temos que 

$$\sin X= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

Agora, 

$$\cos 72=\cos (90-18)=\sin 18= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

Matemática do Agar.io

Olá pessoal, depois de muito tempo estou de volta... . Andei meio ocupado nos últimos tempos fazendo uma pós graduação e acabei deixando um pouco de lado o blog, mas agora voltarei a fazer alguns posts.

Muito bem, alguns dias atrás estava sem nada para fazer e resolvi entrar no youtube para procurar algo para assistir e me deparei com um vídeo do canal coisadenerd (assistam se puder). Se tratava de um jogo online chamado Agar.io. O link do jogo é esse Aga.io .O jogo é viciante e muito interessante olhando pelo lado da matemática.

         

O objetivo do jogo é absorver as bolinhas menores e ficar o maior possível. Porém, o que muitos não notam é que se trata de soma de areas de círculos. Todos sabemos que a area de um círculo pode ser calculada pela fórmula $Area = \pi.r^2$.

Nesse post vamos fazer comparativos entre esses círculos através de suas areas.

Se a area de Varianciapi fosse $10cm^2$ e a area de Mars fosse $90cm^2$ qual seria o raio de mars se ela me absorvesse?

Vamos aos cálculos:

sabemos que

area de varianciapi = 10 $cm^2$
area de mars = 90 $cm^2$

logo

area total = 100 $cm^2$


utilizando a formula de area temos que

$$100 = \pi.r^2$$

logo temos que o raio seria

$$r\approx 5,6418$$

calculando a area inicial de mars temos que

$$r_{i}\approx 5,3523cm$$


logo teríamos um acréscimo de 0,2895 cm de raio


neste caso varianciapi fez muito pouco efeito. kkk


supondo que o record  do Agar.io tenha sido 20000 o que corresponde a uma area de 20000 $cm^2$. Qual seria o raio desse círculo?

vamos aos cálculos:

utilizando a formula de area temos que

$20000=\pi. r^2$

$r=79,7884cm$


logo teríamos um círculo com aproximadamente 79 cm de raio.


Nesse post fui bem light, queria apresentar apenas alguns cálculos. Mas o interessante de tudo isso é que é possível aplicar o jogo como forma de auxilio no ensino de areas de figuras planas, neste caso do círculo. Fica a dica