Frequentemente quando estudamos trigonometria necessitamos saber o cosseno ou seno de alguns ângulos para resolver algum cálculo. Alguns ângulos são bem simples de calcular como é o caso dos ângulos 30° , 45°, 60°. porém algumas vezes nos deparamos com alguns casos em que precisamos de um pouco mais de matemática para determinar o seno ou cosseno de determinado ângulo, como é o caso de cosseno 72° .
FORMA GEOMÉTRICA
Considere o triangulo isósceles ABC abaixo com medidas de lado $1$ e $x$ e ângulos 36° e 72 °.
dividindo o ângulo de 72° no vértice A temos que o triangulo ADC na figura abaixo é semelhante ao triangulo ABC
o segmento AD tem comprimento $x$ pois o triângulo ADC é isósceles. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC temos que
$$1^2=1^2+x^2-2.1.x.\cos 72$$
$$1^2-1^2=x^2-2.1.x.\cos 72$$
$$0= x^2-2.1.x.\cos 72$$
$$-x^2=-2.1.x.\cos 72$$
$$-x=-2.\cos 72$$
$$\cos 72 =\frac{x}{2}$$
Agora, aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD abaixo que é semelhante ao triângulo ABC
temos que
$$x^2=x^2+(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$
$$x^2-x^2=(1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$
$$0= (1-x)^2-2.x.(1-x).\cos 72$$
$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$
$$-(1-x)=-2.x.\cos 72$$
$$\cos 72 =\frac{1-x}{2x}$$
agora, como os triângulos ABC e ACD são semelhantes temos utilizando as relações de semelhança entre os dois triângulos que
$$\frac{1-x}{2x}=\cos 72 =\frac{x}{2}$$
$$\frac{1-x}{2x}=\cos 72 =\frac{x}{2}$$
logo temos que
$$2x^2=2(1-x)$$
$$2x^2=2-2x$$
$$2x^2=2-2x$$
$$2x^2-2+2x=0$$
$$x^2-1+x=0$$
cujas raízes são $$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$
como $x>0$ temos que
$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$
logo $$\cos 72=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
FORMA ALGÉBRICA
Considere $X= 18°$
assim temos:
$$5X=90°$$
$$2X+3X=90°$$
$$2X=90°-3X$$
aplicando o seno temos
$$\sin 2X=\sin(90°-3X)$$
$$2\sin X\cos X=\sin 90°\cos 3X-\cos 90°\sin 3X$$
$$2\sin X\cos X=\cos 3X$$
agora, fazendo $\cos 3X=\cos(X+2X)$ e desenvolvendo o cosseno da soma temos que $\cos 3X= 4\cos^3 X-3\cos X$
assim ficamos com
$$2\sin X\cos X=4\cos^3 X-3\cos X$$
$$2\sin X\cos X-4\cos^3 X+3\cos X=0$$
$$(2\sin X-4\cos^2 X+3)\cos X=0$$
Como $ \cos X=\cos 18°\neq 0$ temos que
$$2\sin X-4\cos^2 X+3=0$$
logo
$$2\sin X-4(1-\sin^2 X)+3=0$$
$$2\sin X-4+4\sin^2 X)+3=0$$
$$2\sin X+4\sin^2 X-1=0$$
e então como 18° está no primeiro quadrante temos que
$$\sin X= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$
Agora,
$$\cos 72=\cos (90-18)=\sin 18= \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$